Многоугольник — Математика 1 класс (Моро)
Краткое описание:
Вы уже многое знаете о геометрии, но, наверное, хотите знать еще больше. Поэтому наше путешествие в удивительную страну Геометрию продолжается. Вам хорошо знакома такая фигура, как отрезок. А что получится, если три отрезка соединятся между собой? Верно, получится ломаная линия. Вы, конечно же, помните, что ломаные линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Если три отрезка соединить в замкнутую ломаную линию, то получится … Догадались? Получится треугольник. А можно ли получить другие фигуры из ломаной линии? Конечно, можно! Все зависит от количества звеньев ломаной линии. Так, например, если звеньев будет четыре, то получится четырехугольник, пять звеньев – пятиугольник и так далее. А теперь подумайте, как мы можем назвать одним словом фигуры, образованные замкнутой ломаной линией? Воспользуйтесь подсказкой: у всех этих фигур звенья образуют разное количество углов. Такие фигуры мы назовем многоугольниками. Многоугольники встречаются вас на каждом шагу. Так, крышка парты – это четырехугольник, некоторые дорожные знаки – треугольники, клумбы могут пятиугольниками, шестиугольниками. Тема «Многоугольники» неисчерпаема. Вы встретитесь с ней не только в первом классе, но и будете постоянно встречаться с ней все время, пока обучаетесь в школе. Подружитесь с многоугольниками!
До сих пор в центре нашего внимания был самый простой из многоугольников - треугольник. В этой главе будем изучать более сложные многоугольники, в основном различные виды четырёхугольников: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Кроме того, в этой главе речь пойдёт о симметрии геометрических фигур, в том числе указанных четырёхугольников. Симметрия играет важную роль не только в геометрии, но и искусстве, архитектуре, технике. В окружающей обстановке мы видим немало симметричных предметов - фасады зданий, узоры на коврах и тканях, листья деревьев.
Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, CD, ..., EF, FG так, что смежные отрезки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, ..., EF и FG) не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной ABCD...FG (рис. 150, а). Отрезки, из которых составлена ломаная, называются её звеньями , а концы этих отрезков - вершинами ломаной . Сумма длин всех звеньев называется длиной ломаной . Концы ломаной ABCD ... FG, т. е. точки А и G, могут быть различными, а могут совпадать (рис. 150, б). В последнем случае ломаная называется замкнутой , и её звенья FG и АВ также считаются смежными. Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек, то эта ломаная называется многоугольником , её звенья называются сторонами многоугольника, а длина ломаной называется периметром многоугольника .
Рис. 150
Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке 151 изображены четырёхугольник ABCD и шестиугольник А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 .
Рис. 151
Фигура, изображённая на рисунке 152, не является многоугольником, так как несмежные отрезки С 1 C 5 и С 2 С 3 (а также С 3 С 4 и С 1 C 5) имеют общую точку.
Рис. 152
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними . Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника .
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней , а другая - внешней областью многоугольника .
На рисунке 153 внутренние области многоугольников закрашены. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.
Рис. 153
Выпуклый многоугольник
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
На рисунке 154 многоугольник F 1 является выпуклым, а многоугольник F 2 - невыпуклым.
Рис. 154
Рассмотрим выпуклый n-угольник, изображённый на рисунке 155,а. Углы А n А 1 А 2 , А 1 А 2 А 3 , ..., А n-1 А n А 1 называются углами этого многоугольника. Найдём их сумму.
Рис. 155
Для этого соединим диагоналями вершину А 1 с другими вершинами. В результате получим n - 2 треугольника (рис. 155, б), сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника АхАг... Аn равна (n - 2) 180°.
Итак, сумма углов выпуклого п.-угольника равна (n - 2) 180° .
Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника. Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А 1 А 2 ... А n взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной
180° - А 1 + 180° - А 2 + ... + 180° - А n =
= n 180° - (A 1 + А 2 +... + А n) =
= п 180° - (n - 2) 180° = 360°.
Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° .
Четырёхугольник
Каждый четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 156). Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными .
Рис. 156
Четырёхугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисунке 156, о изображён выпуклый четырёхугольник, а на рисунке 156, б - невыпуклый.
Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника разделяет его на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника также разделяет его на два треугольника (см. рис. 156, б).
Так как сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) 180°, то сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360° .
Задачи
363. Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые диагонали каждый многоугольник?
364. Найдите сумму углов выпуклого:
а) пятиугольника;
б) шестиугольника;
в) десятиугольника.
365. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен:
а) 90°;
б) 60°;
в) 120°;
г) 108°?
366. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.
367. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая - в три раза больше второй.
368. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.
369. Найдите углы А, В и С выпуклого четырёхугольника ABCD, если ∠A = ∠B = ∠C, a AD = 135°.
370. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.
Ответы к задачам
364. а) 540°; б) 720°; в) 1440°.
365. а) Четыре; б) три; в) шесть; г) пять.
366. 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм.
367. 15 см, 7 см, 23 см, 21см.
368. 90°. 369. 75°. 370. 30°, 60°, 120°, 150°.
Понятие многоугольника
Определение 1
Многоугольником называется геометрическая фигура в плоскости, которая состоит из попарно соединенных между собой отрезков, соседние из которых не лежат на одной прямой.
При этом отрезки называются сторонами многоугольника , а их концы - вершинами многоугольника .
Определение 2
$n$-угольником называется многоугольник, у которого $n$ вершин.
Виды многоугольников
Определение 3
Если многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется выпуклым (рис. 1).
Рисунок 1. Выпуклый многоугольник
Определение 4
Если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется невыпуклым (рис. 2).
Рисунок 2. Невыпуклый многоугольник
Сумма углов многоугольника
Введем теорему о сумме углов -угольника.
Теорема 1
Сумма углов выпуклого -угольника определяется следующим образом
\[(n-2)\cdot {180}^0\]
Доказательство.
Пусть нам дан выпуклый многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Соединим его вершину $A_1$ со всеми другими вершинами данного многоугольника (рис. 3).
Рисунок 3.
При таком соединении мы получим $n-2$ треугольника. Просуммировав их углы мы получим сумму углов данного -угольника. Так как сумма углов треугольника равняется ${180}^0,$ получим, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле
\[(n-2)\cdot {180}^0\]
Теорема доказана.
Понятие четырехугольника
Используя определение $2$, легко ввести определение четырехугольника.
Определение 5
Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины (рис. 4).
Рисунок 4. Четырехугольник
Для четырехугольника аналогично определены понятия выпуклого четырехугольника и невыпуклого четырехугольника. Классическими примерами выпуклых четырехугольников являются квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм (рис. 5).
Рисунок 5. Выпуклые четырехугольники
Теорема 2
Сумма углов выпуклого четырехугольника равняется ${360}^0$
Доказательство.
По теореме $1$, мы знаем, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле
\[(n-2)\cdot {180}^0\]
Следовательно, сумма углов выпуклого четырехугольника равняется
\[\left(4-2\right)\cdot {180}^0={360}^0\]
Теорема доказана.
Цели:
- научить чертить, обозначать и называть углы, записывать название углов при помощи знака “? ” и букв;
- развивать математическую речь учащихся, умение устанавливать закономерности;
- совершенствовать навык использования чертежного инструмента - линейки, умение измерять и чертить отрезок заданной длины;
- воспитывать интерес к изучению математики.
Оборудование: аппликации из геометрических фигур, таблицы.
Ход урока
1. Актуализация знаний. - Посмотрите на аппликации и скажите, из каких геометрических фигур сделаны человечки? (Круг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник, четырехугольник.)
На какие группы можно разделить данные фигуры? (Фигуры с углами и фигуры без углов.)
Назовите геометрические фигуры “без углов”, т.е. фигуры, ограниченные кривыми замкнутыми линиями. (Овал и круг.)
Назовите фигуры из группы тех, что “с углами”. (Квадрат, прямоугольник, треугольник, шестиугольник.)
Как по-другому можно назвать квадрат и прямоугольник? (Четырехугольники.)
Как назвать одним термином геометрические фигуры “с углами”? (Многоугольники.)
Назовите виды многоугольников. (Четырехугольник, треугольник, пятиугольник, шестиугольник.)
От чего зависит название многоугольника? (От количества углов в нем.)
Итак, угол - это элемент многоугольника, но все-таки нужно уточнить, какая фигура называется многоугольником. Являются ли многоугольниками фигуры, изображающие шляпы человечков?
2. Выравнивание знаний.
Незнайка приготовил задание, какие линии он начертил." назовите их по именам. (Прямая а, отрезок АВ, луч ОМ.)
Какая линия называется прямой, отрезком, лучом? (Прямая -это линия, не имеющая начала и конца, которую нужно чертить по линейке. Отрезок-это часть прямой, которая имеет начало и конец. Луч-это часть прямой, которая имеет начало.)
Что общего между прямой, лучом, отрезком? (Луч и отрезок являются частью прямой.)
Чем они различаются? (Отрезок можно измерить, а прямую и луч измерить нельзя, они бесконечны.)
Чем отличаются прямая и луч? (Прямую можно продолжить в двух направлениях, а луч - только в одном. Ведь с другой стороны он ограничен точкой. Это начало луча.)
3. Построение углов.
Какие фигуры: прямую, луч или отрезок - нужно выбрать для построения угла? (Нужно выбрать два луча.)
Незнайка выбрал два луча.
Построил ли он угол? (Нет.)
Почему? (Незнайка не совместил начало лучей.)
Как должны располагаться лучи? (Лучи должны выходить из одной точки.)
Как называется эта точка? (Вершина угла.)
Как называются лучи? (Сторонами угла.)
Итак, что необходимо выбрать для построения угла? (Нужно выбрать точку и провести из нее два луча.)
Сейчас каждый из вас построит угол в тетради.
Каким инструментом будете пользоваться? (Линейкой.)
Обозначьте вершину красным карандашом, стороны - синим и зеленым.
Давайте попробуем дать формулировку углу. Что такое угол? (Угол - это геометрическая фигура, для построения которой нужно выбрать точку и провести из нее два луча.)
4. Постановка учебной задачи и ее решение.
Я очень рада, что сегодня на уроке присутствуют все 27 учеников нашего класса. Сколько углов вы построили? (Столько же, 27.)
Как же различать такое количество углов между собой? (Нужно дать углам имена.)
Как вы думаете, как можно обозначить угол? (Можно назвать вершина.)
Назовите угол, (Угол А)
А если я начерчу несколько углов с вершиной в точке А, то как их различать? (Надо как-то “полнее обозначать углы.)
У кого есть другие варианты обозначения? (Можно обозначить лучи: луч АВ и луч АС.)
Итак, мы обозначили угол, попробуйте назвать его, прочитайте имя. (Угол ВАС, угол CAB, угол АСВ, угол ABC, угол А.)
Нам нужно выбрать из предложенных вами правильные названия из данных. Для этого я предлагаю выйти к доске и показать угол.
(Дети по-разному показывают углы.)
Ребята, в математике принято показывать угол от одной из сторон к вершине и от вершины к стороне. Как вы думаете, какие из названных вами имен угла будут верными? (Угол ВАС, угол CAB, угол А.)
Правильно. Нужно запомнить, что букву, которой мы обозначаем вершину угла, необходимо называть второй.
Слово “угол” в математике обозначается таким знаком “? ”.
Итак, сколько букв может быть в имени угла? (Одна буква или три.)
Запишите название начерченного вами в тетради угла. Я запишу названия того угла, что на доске, а вы мне подскажете. (Угол ВАС, угол CAB, или просто угол А.)
Как записать названия углов, когда одна точка является началом нескольких лучей? (Сначала надо обозначить лучи, расставить буквы М, К, С, Д.)
Сколько углов получилось у нас? (Два, три, даже больше.)
Чтобы показать, какие углы нужно назвать, их обозначают дугами. Назовите и запишите углы, которые я обозначаю. (Угол МАК, угол САД, угол MAC.)
Есть ли еще углы на этом чертеже? (Да, угол МАД, угол КАД, угол САМ.)
При затруднении учитель показывает угол, и дети его называют. Это задание для “сильных” учеников, для их развития. Вслед за ними учатся и остальные.
5. Обобщение. Углубление знаний о многоугольнике.
Что надо помнить, называя и записывая углы? (Букву, обозначающую вершину, называем посередине.)
Как показывать угол? (Указкой надо “пройти” по лучу - от стороны к вершине, а потом от вершины - по другой стороне.)
6. Физминутка.
Я покажу карточки с геометрическими фигурами. Увидев многоугольник, вы должны присесть. Увидев фигуру, не являющуюся многоугольником, вы должны встать.
Раз, два, три, четыре, пять,
Все умеем мы считать,
Отдыхать умеем тоже –
Руки за спину положим
Голову поднимем выше
И легко-легко подышим.
7. Закрепление по учебнику.
Стр. 29 № 68. Запиши имена углов, используя этот знак “? ”. Данное задание выполняется комментировано.
Сколько имен может иметь один угол? (Три имени.)
8. Закрепление нового материала в группах. (Семь групп).
Каждой группе предлагается дать три варианта названия угла.
После выполнения задания командир группы отчитывается. Например:
9. Совершенствование устных вычислительных навыков.
Игра “Расшифруй слово”. Каждому значению выражения соответствует определенная буква. 4 - Г, 5 - Л, 6 - У, 7 - О.
10-8 + 4 = 6 У 2+7-5=4 Г 8-3+2=7 О 1+9-5=5 Л
Прочитайте слово. (Угол.)
10. Поиск углов в окружающей действительности.
Посмотрите внимательно вокруг и назовите предметы, в которых есть углы. (Доска, тетрадь, парта, окно и т.д.)
11. Итог.
Чему новому научились на уроке? (Научились обозначать углы.)
Сколько имен может иметь угол? (Три.)
Что обозначает буква, которая по счету называется второй? (Эта буква обозначает вершину угла.)
Все ли было понятно на уроке? Сможет ли каждый из вас назвать угол и правильно прочитать имя угла? Если да - поднимите карточку с восклицательным знаком, если нет - с вопросительным знаком.
Сегодня на уроке все активно помогали Незнайке помочь усвоить новую тему “Угол”, но еще и уточняли знания о многоугольниках. Что каждый из вас узнал нового о них? (Как удобнее чертить, какая у угла граница. Как показать угол. Чтобы показать многоугольник, его надо закрашивать.)
Дома начертите 3 угла и дайте им названия. Еще постройте многоугольник и покажите в нем углы, дайте имя.
Существуют разные точки зрения на то, что считать многоугольником. В школьном курсе геометрии используют одно из следующих определений.
Определение 1
Многоугольник
— это фигура, составленная из отрезков
так, что смежные отрезки (то есть соседние отрезки с общей вершиной, например, A1A2 и A2A3) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
Определение 2
Многоугольником называется простая замкнутая .
Точки
называются вершинами многоугольника , отрезки
— сторонами многоугольника .
Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника .
Многоугольник, который имеет n вершин (а значит, и n сторон) называется n — угольником .
Многоугольник, который лежит в одной плоскости, называется плоским . Когда говорят о многоугольнике, если не сказано иначе, подразумевается, что речь идёт о плоском многоугольнике.
Две вершины, принадлежащие одной стороне многоугольника, называются соседними . Например, A1 и A2, A5 и A6 — соседние вершины.
Отрезок, который соединяет две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника .
Выясним, сколько диагоналей имеет многоугольник.
Из каждой из n вершин многоугольника исходит n-3 диагонали
(всего вершин n. Не считаем саму вершину и две соседние, которые не образуют с данной вершиной диагонали. Для вершины A1, например, не учитываем саму A1 и соседние вершины A2 и A3).
Таким образом, каждой из n вершин соответствует n-3 диагонали. Поскольку одна диагональ относится сразу к двум вершинам, чтобы найти количество диагоналей многоугольника, надо произведение n(n-3) разделить пополам.
Следовательно, n — угольник имеет
диагонали.
Любой многоугольник делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю области многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.